Arsip Penulis: Pardomuan Sitanggang

Tentang Pardomuan Sitanggang

Tes

PENERAPAN PERSAMAAN KUADRAT

Ditulis pada oleh
Balas


7700334066″,
enable_page_level_ads: true
});

Gerak suatu objek yang dilempar ke atas merupakan salah satu penerapan dari persamaan kuadrat dalam kehidupan sehari-hari. Gerak objek tersebut dapat dirumuskan dengan rumus h = –5t2 + vt + k, dengan h adalah ketinggian objek tersebut dalam meter, t adalah waktu dalam detik, dan v adalah kecepatan awal dalam meter per sekon. Konstanta k merepresentasikan ketinggian awal dari objek dari permukaan tanah. Untuk lebih memahami mengenai gerak objek yang dilempar ke atas, perhatikan contoh berikut.

Contoh 1: Menyelesaikan Penerapan Persamaan Kuadrat

Seorang anak berdiri di atas tebing yang memiliki ketinggian 5 m dari permukaan tanah, melempar bola ke atas dengan kecepatan awal 20 m/s (anggap bola dilepaskan ketika berada 1 m di atas permukaan tebing di mana anak tersebut berdiri). Tentukan (a) tinggi bola setelah 3 detik, dan (b) waktu yang dibutuhkan agar bola tersebut sampai di permukaan tanah.

Melempar Bola

Pembahasan Dengan menggunakan informasi yang diberikan soal, kita memperoleh h = –5t2 + 20t + 6. Untuk menentukan tinggi bola setelah 3 detik, substitusikan t = 3 ke dalam persamaan tersebut.

Menentukan Ketinggian

Apabila bola sampai di permukaan tanah, maka ketinggian bola tersebut adalah 0 meter. Sehingga dengan mensubstitusi h = 0 diperoleh,

Waktu Sampai Tanah

Karena waktu tidak pernah negatif, maka waktu yang diperlukan agar bola tersebut sampai di permukaan tanah adalah 4,28 detik.

Contoh 2: Permasalahan Pelanggan Telepon Genggam

Dari tahun 1995 sampai 2002, banyaknya pelanggan telepon genggam N (dalam juta orang) dapat dimodelkan oleh persamaan N = 17,4x2 + 36,1x + 83,3, dengan x = 0 merepresentasikan tahun 1995 [Sumber: Data dari 2005 Statistical Abstract of the United States, Tabel 1.372, hal. 870]. Pada tahun berapa banyaknya pelanggan telepon genggam mencapai angka 3.750 juta?

Pembahasan Dari soal diketahui bahwa N = 17,4x2 + 36,1x + 83,3 dan kita diminta untuk menentukan tahun ketika banyaknya pelanggan telepon genggam mencapai 3.750 juta. Dengan kata lain, kita diminta untuk menentukan nilai 1995 + x ketika N = 3.750.

Pelanggan Telepon Genggam

Karena waktu tidak pernah negatif, maka kita simpulkan bahwa 13,52 tahun setelah tahun 1995, yaitu tahun 2008, banyaknya pelanggan telepon genggam mencapai angka 3.750 juta. Semoga bermanfaat.

SUMBER : https://yos3prens.wordpress.com

Share This:

Persamaan Kuadrat

Ditulis pada oleh
Balas

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan dari variabel yang mempunyai pangkat tertinggi dua. Bentuk umumnya adalah:

ax^2 + bx + c = 0

Dengan a, b, merupakan koefisien, dan c adalah konstanta, serta a \neq 0 .

Penyelesaian atau pemecahan dari sebuah persamaan ini disebut sebagai akar-akar persamaan kuadrat. Akar-akar merupakan nilai dari variabel x yang memenuhi persamaan tersebut. Ketika nilai tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan akan menghasilkan nilai nol.

Akar-akar Persamaan Kuadrat

Ada tiga metode dalam mencari akar-akar persamaan kuadrat ax^2 + bx + c = 0 yaitu:

Pemfaktoran

Metode ini mudah digunakan jika akar-akarnya merupakan bilangan rasional. Berikut ini tabel model persamaan kuadrat (PK) dan berbagai cara pemfaktorannya:

persamaan kuadrat dengan pemfaktoran

Saat menggunakan metode ini, pertama harus mengetahui terlebih dahulu model PK yang akan diselesaikan. Jika model PK sudah diketahui, maka pemfaktoran bisa dilakukan dalam bentuk sesuai dengan yang ada di kolom tabel di atas. Untuk mendapatkan nilai p, q, m dan n kalian harus memahami cara memfaktorkan suatu bilangan.

Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Metode melengkapkan kuadrat sempurna akan mudah digunakan jika koefisien a dibuat agar bernilai 1. PK dalam bentuk ax^2 + bx + c = 0 diubah bentuk menjadi persamaan:

(x + p)^2 = q

Dengan p dan q adalah konstanta serta x adalah variabel. Nilai dari konstanta p dan q dari persamaan x^2 + bx + c = 0 didapatkan dengan cara:

p = \frac{1}{2}b

q = (\frac{1}{2}b)^2 - c

Perubahan tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut :

(x + p)^2 = q

(x + \frac{1}{2}b)^2 = (\frac{1}{2}b)^2 - c

x^2 + bx + (\frac{1}{2}b)^2 = (\frac{1}{2}b)^2 - c

x^2 + bx + c = 0

Rumus abc

Metode rumus abc ini bisa digunakan jika pemfaktoran dan melengkapkan kuadrat sempurna tidak bisa dilakukan. Nilai dari akar-akar persamaan kuadrat ax^2 + bx + c = 0 didapatkan dari rumus abc berikut:

x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Sehingga, akar-akarnya adalah

x_1 = \frac{- b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat

Jenis akar-akar persamaan kuadrat ax^2 + bx + c = 0 dapat ditentukan dengan mengetahui nilai “Diskriminan” (D). Nilai diskriminan terdapat dalam rumus abc sebagai :

D = b^2 - 4ac

Sehingga rumus abc menjadi:

x_{1,2} = \frac{-b \pm sqrt{D}}{2a}

Tanda akar diskriminan ( \sqrt{D} ) dalam rumus abc menentukan jenis dari akar-akar persaaman kuadrat, apakah bilangan real atau tidak real. Sehingga jenis akar-akar PK ax^2 + bx + c = 0 adalah:

  • Jika D < 0 maka akar-akarnya tidak real.
  • Jika D > 0 maka akar-akarnya real (x_1, x_2 \in R) dan berbeda (x_1 \neq x_2).
  • Jika D = 0 maka akar-akarnya real (x_1, x_2 \in R) dan sama atau kembar (x_1 = x_2).

Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar

Penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan ax^2 + bx + c dapat dilakukan tanpa harus mengetahui nilai dari akar-akarnya. Jumlah akar-akar dapat diperoleh dengan :

x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

= \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac} - b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

= - \frac{2b}{2a} = - \frac{b}{a}

Sedangkan hasil kali akar-akar dapat diperoleh dengan:

x_1 \cdot x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \cdot \frac{-b -\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

= \frac{(-b)^2 - (b^2 - 4ac)}{(2a)^2}

\frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}

Dari penjabaran tersebut dapat diketahui bahwa :

  • Penjumlahan akar-akar x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}.
  • Perkailan akar-akar x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}.

Ada beberapa bentuk pernyataan matematika yang bisa dirubah kedalam (x_1 + x_2) dan (x_1 \cdot x_2). Tujuan dari perubahan bentuk ini untuk memudahkan dalam peyelesaian persoalan. Perubahan ini dapat dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat aljabar. Berikut ini sebagai contoh bentuk-bentuk perubahan:

  • x_1 + x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2
  • x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3 (x_1 \cdot x_2)(x_1 + x_2)
  • \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{(x_1 + x_2)}{(x_1 \cdot x_2)}

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Suatu persamaan kuadrat baru dapat dibentuk jika diketahui nilai dari akar-akarnya. Hal tersebut dapat dilakukan dengan memasukan atau mensubstitusi nilai dari akar-akar yang telah diketahui kedalam persamaan

(x - x_1)(x - x_2)

atau

x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 . x_2)

Suatu persamaan kuadrat baru juga dapat dibentuk walaupun tidak ada diketahui nilai dari akar-akarnya. Dengan syarat, akar-akar tersebut memiliki hubungan atau relasi dengan akar-akar dari PK yang lain.

Contoh Soal Persamaan Kuadrat dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Persamaan kuadrat dari x^2 - 4x - 6 = 0 mempunyai akar-akar m dan n dengan ketentuan m < n. Tentukan nilai dari n – m.

Pembahasan:

Soal ini dapat diselesaikan dengan cara melengkapkan kuadrat x^2 - 4x - 6 = 0 yang dirubah menjadi (x + p)^2. Dimana:

p = \frac{1}{2}b = \frac{1}{2}(-4) = -2

q = (\frac{1}{2}b)^2 - c = (\frac{1}{2}b)^2 - c

Kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan

(x + p )^2 = q

(x - 2)^2 = 10

(x - 2) = \pm \sqrt{10}

x = 2 \pm \sqrt{10}

Didapatkan akar-akarnya dengan syarat m < n adalah

m = 2 - \sqrt{10}

n = 2 + \sqrt{10}

Maka,

n - m = 2 + \sqrt{10} - (2 - \sqrt{10})

= 2 + \sqrt{10}- 2 + \sqrt{10}

= 2\sqrt{10}

Contoh Soal 2

Suatu persamaan kuadrat x^2 - 2x - 5 = 0 memiliki akar-akar p dan q. Tentukan nilai dari (p^2 - q^2)^2.

Pembahasan :

Berdasarkan persamaan x^2 - 2x - 4 = 0 diketahui bahwa:

p + q = -\frac{b}{a} = -\frac{(-2)}{2} = 1

p . q = \frac{c}{a} = \frac{-4}{2} = -2

Sehingga diperoleh

(p^2 - q^2)^2 = ((p + q)(p - q))^2

= (p + q)^2 . (p - q)^2

= (p + q)^2 . (p^2 + q^2 - 2pq)

=(p + q)^2 . ((p + q)^2 - 2pq + 2pq)

= (1)^2 . ((1)^2 - 2(-2) - 2(-2))

= (1 + 4 + 4) = 9

Contoh Soal 3

Suatu persamaan kuadrat 2x^2 - 6x + 3 = 0 memiliki akar-akar p dan q. Tentukan persamaan kuadrat baru dengan akar-akar (p + q) dan (2pq).

Pembahasan :

Berdasarkan persamaan 2x^2 - 6x + 3 = 0 diketahui bahwa :

p + q = -\frac{b}{a} = -\frac{(-6)}{2} = 3

p \cdot q = \frac{c}{a}= \frac{3}{2} = 1,5

Sehingga akar-akar dari persamaan kuadrat baru adalah :

x_1 = (p + q) = 3

x_2 = 2pq = 2(1,5) = 3

Persamaan kuadrat baru diperoleh :

(x - x_1)(x - x_2)

(x - 3)(x - 3) atau x^2 - 6x + 9 = 0

Sumber: studiobelajar.com

Share This:

Soal Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

Ditulis pada oleh
Balas

http://www.teknokiper.com/

Share This:

Macam – Macam Pola Barisan Bilangan Dalam Matematika

Ditulis pada oleh
Balas
Pola Bilangan Dalam Matematika
Berawal dari tugas matematika di sekolah oleh guru matemtika yang memberi tugas untuk mencari pola – pola bilangan matematika, maka pada kesempatan kali ini saya akan membagikan beberapa jenis pola bilangan matematika. Tanpa panjang lebar, langsung saja kita ke pembahasannya.

Pola bilangan ganjil

  • Pola bilangan ganjil memiliki pola 1, 3, 5, 7, 9 ….
  • Barisan bilangan ganjil adalah 1,3, 5, 7, 9, …
  • Deret bilangan ganjil adalah 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ….
  • Rumus mencari suku ke ke-n adalah Un = 2n – 1
  • Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah Sn = n2
  • Berikut adalah gambar pola dari bilangan ganjil

    pola barisan bilangan ganjil

     

Pola bilangan genap

  • Pola bilangan genap adalah 2, 4, 6, 8, 10, …..
  • Barisan bilangan genap adalah 2, 4, 6, 8, 10, ….
  • Deret bilangan genap adalah 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + …..
  • Rumus untuk mencari suku ke-n adalah Un = 2n
  • Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah Sn = n2 + n
  • Gambar pola bilangan genap adalah sebagai berikut
Pola Barisan bilangan genap

 

Pola bilangan segitiga

  • Pola bilangan segitiga adalah 1, 3, 6, 10, 15, 21, …..
  • Barisan bilangan segitiga adalah 1, 3, 6, 10, 15, 21, …..
  • Deret bilangan segitiga adalah 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + …..
  • Rumus mencari suku ke-n adalah Un = ½ n (n + 1 )
  • Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah Sn = 1/6 n ( n + 1 ) ( n + 2 )
  • Gambar pola bilangan segitiga adalah sebagai berikut

    pola barisan bilangan segitiga

     

1PS2pKdSmpMHgLuCsLL52UwCtEgrG2_K_/

Pola bilangan persegi

  • Pola bilangan persegi adalah 1, 4, 9, 16, 25, …..
  • Barisan bilangan persegi adalah 1, 4, 9, 16, 25, …..
  • Deret bilangan persegi adalah 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + ……
  • Rumus mencari suku ke-n adalah Un = n2
  • Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah Sn = 1/6 n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )
  • Gambar pola bilangan persegi adalah sebagai berikut

    pola barisan bilangan persegi

     

Pola bilangan persegi panjang

  • Pola bilangan persegi panjang adalah 2, 6, 12, 20, 30, ……
  • Barisan bilangan persegi panjang adalah 2, 6, 12, 20, 30, ……
  • Deret bilangan persegi panjang adalah 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + …..
  • Rumus mencari suku ke-n adalah Un = n ( n + 1 )
  • Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah Sn = 1/3 n ( n + 1 ) ( n + 2 )
  • Gambar pola bilangan persegi panjang adalah sebagai berikut
pola barisan bilangan persegi panjang

 

Pola bilangan segitiga pascal

  • Rumus mencari jumlah baris ke-n adalah 2n – 1
  • Gambar pola bilangan segitiga pascal adalah sebagai berikut
pola barisan bilangan segitiga pascal

Pola bilangan Fibonacci

  • Pola bilangan fibanocci adalah pola bilangan dimana jumlah bilangan setelahnya merupakan hasil dari penjumlahan dari dua bilangan sebelumnya.
  • Pola bilangan Fibonacci adalah 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …..
  • 2 diperoleh dari hasil 1 + 1 3 diperoleh dari hasil 2 + 1, 5 diperoleh dari hasil 3 + 2 dan seterusnya
  • Rumus mencari suku ke-n adalah Un = Un – 1 + Un – 2

 

Pola bilangan pangkat tiga

  • Pola bilangan pangkat tiga adalah pola bilangan dimana bilangan setelahnya merupakan hasil dari pangkat tiga dari bilangan sebelumnya
  • Contoh pola bilangan pangkat tiga adalah 2, 8, 512, 134217728, …..
  • Keterangan : 8 diperoleh dari hasil 2 pangkat tiga, 512 diperoleh dari hasil 8 pangkat tiga, dan seterusnya

 

Pola bilangan aritmatika

  • Pola bilangan aritmatika adalah pola bilangan dimana bilangan sebelum dan sesudahnya memiliki selisih yang sama.
  • Contoh pola bilangan aritmatika adalah 2, 5, 8, 11, 14, 17, ….
  • Suku pertama dalam bilangan aritmatika dapat disebut dengan awal ( a ) atau U1, sedangkan suku kedua adalah U2 dan seterusnya.
  • Selisih dalam barisan aritmatika disebut dengan beda dan dilambangkan dengan b.
  • Karena bilangan sebelum dan sesudahnya memiliki selisih yang sama, maka b = U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = U5 – U4 = U6 – U5 = 3
  • Rumus mencari suku ke-n adalah Un = a + ( n – 1 ) b
  • Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah Sn = n/2 ( a + Un ) atau Sn = n/2 ( 2 a + ( n – 1 ) b )

 

Saya rasa cukup sekian dulu tentang pola barisan bilangan yang dapat saya sampaikan kepada anda. Semoga dapat membantu anda dalam pelajaran matematika. Jangan lupa juga untuk update dari pola diatas, nanti setelah pegal – pegal saya hilang. Dan jangan lupa juga untuk LIKE FANSPAGE SPAKABAR DISINI untuk mendapatkan update dari blog ini melalui facebook.

sumber: http://sapakabar.blogspot.com

Share This:
Call Now Button